Geometría no conmutativa, ecuación de trenza, coálgebras, productos torcidos y la conjetura del Jacobiano.

El proyecto es la continuación del trabajo del grupo de investigación que se viene desarrollando desde hace unos 10 años. La meta principal es desarrollar herramientas en geometría no conmutativa, calculando teorías homológicas, en particular homología cíclica y K-teoría, para álgebras no conmutativas y álgebras de Hopf. Además, se tiene representaciones de productos tensoriales torcidos, soluciones a la ecuación de trenzas y un método para la conjetura del Jacobiano. En esos temas se han producido 13 artículos en revistas indexadas por Scopus, 3 doctorados y 9 tesis de maestría. Se van a desarrollar seis temas específicos en paralelo, que se nutren entre si por tener varios puntos de contacto. El primer tema nace de la clasificación de los planos torcidos graduados, parcialmente clasificados por nosotros. Se intentará calcular la homología de Hochschild de estas álgebras, usando las técnicas estándar y también algunas desarrollados por el grupo, y también se encontrará la estructura de Gerstenhaber de la homología. En el segundo tema se construirá q-brazas sobre coálgebras, en particular sobre el co-álgebra dual del álgebra de polinomios truncada. Esto también producirá soluciones a la ecuación de Yang-Baxter. En el tercer tema se analizarán las propiedades de la sucesiones casi balanceadas, que parametrizan una familia de planos torcidos graduados, y sus nexos con la teoría de números. En el cuarto tema se calculará las homologías cíclicas de productos torcidos de álgebras de Hopf débiles para acciones parciales, utilizando los complejos mixtos más cortos que el estándar utilizado en trabajos anteriores. En el quinto tema de va a resumir los esfuerzos de los últimos año con el método desarrollado por nosotros para abordar la conjetura del Jacobiano, y así elevar la cota inferior de 100 hallada por Moh en el 1983. Asimismo se creará una página web donde se explicará en detalle nuestro método geométrico. En el sexto tema se va a describir la teoría de representación de las álgebras de Weyl generalizadas, usando las representaciones que permitieron calcular la K-teoría de estas álgebras. Para desarrollar estos temas se buscará en la literatura los resultados referentes al problema planteado. Luego se evaluarán las herramientas desarrolladas por uno mismo o por los coautores, para ver si se pueden aplicar al problema propuesto. Durante este período también se pregunta la opinión de otros expertos en el tema. Luego se van aplicando las herramientas matemáticas necesarias, si alguna no funciona se busca qué herramientas se usaron en casos parecidos, principalmente en los artículos especializados del tema. Se espera concluir al menos cuatro de los seis temas planteados, y se espera escribir al menos seis artículos y enviarlos a revistas internacionales indexadas, y se espera publicar al menos dos de ellos. Además se espera concluir una tesis de doctorado y tres tesis de maestría, se darán 6 conferencias nacionales y/o internacionales, se producirá una página web, y al final se realizará un taller de difusión de resultados.