GRAFOS DUALES DE SINGULARIDADES EN MORFISMOS ALGEBRAICOS ESTABLES: INVARIANTES GLOBALES Y COMPARACIÓN REAL- COMPLEJO

El proyecto estudia morfismos algebraicos f : X ? Y entre variedades algebraicas lisas definidas sobre R (real) ó C (complejo) cuyo comportamiento singular, al verse como mapas suaves f_K : X(K) ? Y (K), donde K es (R ó C), es de tipo estable. En dimensiones bajas, la estabilidad implica que el conjunto singular y su imagen (discriminante o branch locus) tienen una estructura local controlada; en el mundo suave esto permite describir globalmente el mapa mediante grafos duales ponderados que codifican cómo las singularidades separan la variedad fuente y cómo se pegan las regiones regulares. La brecha que aborda el proyecto es que no existe una teoría global análoga cuando se exige que f sea algebraico, donde aparecen restricciones propias de la geometría algebraica (proyectividad/propiedad, grado, ramificación, clases características, compactificaciones) y, además, una interacción real–complejo: una misma regla definida sobre R puede inducir invariantes distintos en X(R) y X(C). El objetivo central es construir un marco teórico global basado en un invariante combinatorio G(f) (grafo dual o complejo dual ponderado) asociado al conjunto singular y/o al discriminante, probar su buena definición e invariancia bajo equivalencias geométricas naturales, y desarrollar su poder descriptivo. Se trabajará por etapas. Primero, se definirá G(f) con un conjunto mínimo de pesos topológicos y algebraico-geométricos y se establecerán teoremas de invariancia y computabilidad en clases concretas. Segundo, en morfismos entre superficies hacia el plano o una superficie fija, se derivarán fórmulas globales que conecten los pesos de G(f) con invariantes del morfismo (grado, ramificación, estructura del discriminante) y del complemento regular, obteniendo clasificaciones parciales en familias controladas. Tercero, se obtendrán obstrucciones verificables y criterios de realizabilidad, junto con construcciones en familias y un banco de ejemplos/contraejemplos que delimite qué grafos pueden ocurrir en el marco algebraico. Cuarto, se desarrollará una teorá comparativa real–complejo describiendo qué información se conserva o se pierde al pasar de X(R) a X(C), incorporando la conjugación compleja cuando corresponda. Finalmente, se validará el enfoque en casos modelo de alto impacto conceptual, como análogos algebraicos del mapa de Gauss y/o subclases manejables en dimensión 3 con singularidades predominantemente tipo pliegue. Los resultados esperados son teoremas de definición e invariancia del invariante, fórmulas globales y clasificaciones parciales en dimensiones bajas, criterios de realizabilidad/obstrucción, resultados comparativos real–complejo y un repositorio reproducible de familias de ejemplos con sus grafos asociados. En conjunto, el proyecto aporta una herramienta conceptual nueva para organizar y comparar singularidades de morfismos algebraicos, abre preguntas estructurales sobre qué patrones combinatorios son realizables por polinomios y establece una agenda natural de extensiones a nuevas familias, blancos y dimensiones.