Solución numérica sobre dominios no periódicos para leyes de conservación no locales provenientes de la dinámica de fluidos y modelos de agregación

La ecuación cuasi-geostrófica, la ecuación fraccionaria de medios porosos y ecuación de agregación son modelos de amplio estudio teórico en el campo de las EDP evolutivas en las últimas décadas. Para la dimensión 2 y salvo la ecuación cuasi-geostrófica clásica, no se han encontrado estudios computacionales de dichos modelos, debido a que las expresiones no locales son de difícil tratamiento computacional y los posibles algoritmos acarrean una gran inversión de energía. La metodología a utilizar será cuantitativa y experimental, combinando la teoría matemática, técnicas de cálculo numérico y simulación. Se elaborarán algoritmos que serán sustentados en demostraciones de convergencia rigurosas y con simulaciones ilustrativas. La hipótesis planteada: Es posible capturar computacionalmente propiedades teóricas de las leyes de conservación contempladas y por lo tanto indagar nuevos comportamientos cualitativos de las soluciones. El objetivo principal, elaborar un método numérico de volúmenes finitos y de tipo Lagrangiano-Euleriano eficiente, para resolver leyes de conservación no locales de tipo cuasi geostrófico y de agregación, que involucran a la transformada de Riesz y el Potencial de Riesz en su estructura y, realizar estudios computacionales de dichas leyes de conservación por medio de simulaciones para explorar propiedades de sus soluciones en los casos físicamente relevantes. Los objetivos específicos: i. Elaborar métodos numéricos eficientes para aproximar operadores no locales de tipo transformada de Riesz y Potencial de Riesz en dimensión dos; ii. Obtener estimaciones de error explícitos para los métodos numéricos propuestos para aproximar los operadores no locales; iii. Integrar los métodos numéricos para los operadores no locales con el método de volúmenes finitos de tipo Lagrangiano - Euleriano para la resolución numérica de las leyes de conservación bi-dimensionales de tipo no local; iv. Reproducir propiedades cualitativas conocidas por trabajos teóricos de las soluciones de las leyes de conservación consideradas y en dominios no periódicos; v. Explorar posibles nuevos comportamientos de las soluciones de las leyes de conservación consideradas, basados en estudios teóricos. Los resultados que se esperan es que los métodos desarrollados capturen los hechos teóricos conocidos para marcar un puente entre estudios teóricos y computacionales, concretamente, capturar propiedades como conservación de masa de la solución, concentración de masa y formación de gradiente abrupto en el caso de la cuasi-geostrófica. Los resultados esperados por las bases son: Un artículo científico original aceptado para publicación en revistas indizadas en Scopus o WoS, en Q3 o preferentemente en Q1 o Q2; Una tesis finalizada de pregrado presentada al área o unidad correspondiente, que conlleven a la obtención del título o grado académico en universidades peruanas; Una ponencia en congresos de alcance nacional o internacional. Esta investigación permitirá explorar nuevas propiedades cualitativas sobre las soluciones de los modelos considerados, y proponer problemas matemáticos de relevancia para su investigación teórica. En este sentido, esta investigación tendrá un impacto de carácter tecnológico.