ASPECTOS DE ANÁLISIS GLOBAL: FENOMENOLOGÍA DE ECUACIONES NOLOCALES, FUNCIONES CASI PERIÓDICAS Y GEOMETRÍA DE FINSLER.

La teoría General de la Relatividad de Einstein tiene problemas a escalas muy pequeñas (altas energías), esto es cuando se quiere conciliar con la mecánica cuántica; y también tiene problemas al ser aplicadas a escalas muy grandes (bajas energías). A la luz del teorema de Lovelock, se proponen correcciones a la Relatividad General y una de ellas consiste en las correcciones no locales. Estas correcciones o modificaciones nolocales, entregan una vasta cantidad de ecuaciones nolocales que, para estudiarlas, los métodos matemáticos hasta ahora desarrollados no son muy pertinentes. También, es bien sabido que la geometría Riemanniana es el pilar fundamental de la Relatividad General, sin embargo, la geometría de Finsler resulta ser una generalización muy importante de la geometría Riemanniana, en este contexto se ha estudiado la posibilidad de extender la teoría de la Relatividad a espacios con métricas Finsler. Por otro lado, estudio de órbitas periódicas de ecuaciones de campo de interés en Física y la posibilidad de la periodicidad en la distribución de galaxias, motiva el estudio de oscilaciones casi periódicas (automórficas) como herramienta básica para estudiar fenómenos físicos y también biológicos Nuestro problema consiste en desarrollar métodos y técnicas lo suficientemente robustas para poder estudiar la dinámica de ecuaciones nolocales que dependen del operador de D'Alembert, También se presenta el problema de estudiar métricas de Finsler, que son una generalización de las métricas Riemannianas. Por último, se presenta el problema del estudio de la caracterización de la casi periodicidad de funciones de varias variables y el problema de estudiar funciones casi automórficas en grupoides. La metodología que se empleará en el presente proyecto tendrá las siguientes etapas: Comprensión, Análisis, Síntesis, Demostración, Revisión-generalización y contrastación. El objetivo general es tener una comprensión lo más general posible de las correcciones hechas a través de la nolocalidad a problemas que surgen en sistemas dinámicos locales. También estudiar métricas de Finsler, establecer la generalización del criterio de casi periodicidad de A. Haraux al caso de varias variables, con la idea de estudiar oscilaciones casi periódicas en modelos de hidrodinámica y biológicos, y estudiar las funciones casi automórficas en grupoides. Los resultados esperados de esta investigación son entender la fenomenología de las correcciones nolocales que se hacen a problemas fundamentales en teorías locales, caracterizar métricas de Douglas cilíndricamente simétricas con curvatura de Douglas nula y, caracterizar las funciones casi periódicas con traslaciones en subconjuntos relativamente densos de Rn y otorgar aplicaciones concretas a modelos de hidrodinámica y a modelos biológicos. Los resultados bibliográficos esperados son los siguientes: 01 Tesis de maestría sustentada y aprobada, 01 Tesis de doctorado sustentada y aprobada, 01 ponencias en eventos internacionales, 02 artículos científicos originales aceptados para publicación en revistas indizadas en Scopus o WoS en Q1 o Q2 y 01 conferencia de difusión de resultados para el público en general. Esta investigación nos permitirá comprender aspectos analíticos y geométricos presentes en modificaciones nolocales de la Teoría de la Relatividad General; además, nos permitirá avanzar en el estudio de sistemas dinámicos casi periódicos y casi automórficos muy importantes en aplicaciones.