Espacios de Orlicz y su aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales

Los espacios Lp son una herramienta importante en distintas áreas del análisis matemático debido a que muchas propiedades cuantitativas de funciones son expresadas en términos de su integralidad al ser elevadas a una potencia (Grafakos 2014); es así que resulta natural preguntarse si algunas de estas propiedades cuantitativas, u otras, pueden ser expresadas en términos de la integralidad de la función al ser evaluada en otra que comparta ciertas características con la función elevar a una potencia. Es precisamente de esta forma que se definen los espacios de Orlicz, como una generalización de los espacios Lp. Las ecuaciones en derivadas parciales (EDP) constituyen un área de la matemática en el que los espacios Lp han probado ser particularmente útiles. Por ejemplo, enfocándonos en la ecuación de Schrödinger no lineal en la que el término no lineal es de tipo polinomial (ESP), la teoría de espacios Lp está presente en prácticamente todos los detalles técnicos de las pruebas de existencia, unicidad y regularidad de la solución del problema de valor inicial. Sin embargo, los espacios Lp resultan insuficientes para tratar otro tipo de términos no lineales como el de la ecuación de Schrödinger logarítmica (ESL), en este caso ni siquiera es simple percibir en qué espacio tiene sentido una solución del problema de valor inicial (Cazenave 2003). Las herramientas para conseguir probar la existencia y regularidad de ESL, si bien se basan en las utilizadas para realizar las pruebas para el caso de ESP, necesitan además de la introducción de un nuevo tipo de espacio que captura información del término no lineal; este espacio resulta ser un espacio de Orlicz (ver sección 9.3 en Cazenave 2003). Esto sugiere la importancia de los espacios de Orlicz para tratar con términos no lineales que no sean de tipo polinomial. De hecho, tal sugerencia ya ha sido confirmada por trabajos recientes como (Chlebicka et al. 2021) en donde se desarrolla la teoría necesaria para estudiar la existencia, unicidad y regularidad de problemas elípticos y parabólicos abstractos de valor en la frontera en dominios acotados. En esta tesis se busca estudiar la teoría de espacios de Orlicz con énfasis en la generalización de herramientas del análisis armónico que han probado ser eficientes en el análisis de EDP. Concretamente, se enfocará la investigación en las herramientas relacionadas con la interpolación y extrapolación de operadores y operadores maximales. Además, se aplicarán las herramientas investigadas en el análisis de ESL y otras variaciones no lineales de la ecuación de Schrödinger en el contexto de espacios de Orlicz.

YUPANQUI HUAMAN ,DIEGO ALFREDO